郝芳芳1 吕图伟1 吴东东1 范小宁2
1 山西平遥减速机有限公司 平遥 031100 2 太原科技大学机电工程学院 太原 030024
摘要：针对起重机主梁结构的稳健优化设计，研究了拉丁超立方试验设计技术、近似模型技术、基于方差的稳健设计模型构建过程以及利用灰色绝对关联度求解多目标优化问题的方法。选取决定起重机主梁截面形状的5个主要尺寸参数作为输入变量，以主梁跨中处的最大应力和竖向静刚度为响应变量，构建二次多项式响应面模型在响应面模型的基础上，以方差为稳健性评价指标，以最大应力和竖向静刚度的方差、截面面积为3个目标，构建多目标稳健优化建立了起重机主梁的设计模型，并采用灰色绝对关联度进行优化求解。优化结果表明，考虑参数不确定性的稳健优化设计可以在一定程度上降低性能指标对设计参数的敏感性。同时同时，基于近似模型的优化设计可以为复杂工程提供极大的便利，为工程实践中的稳健优化设计提供指导。
关键词：起重机；响应面模型；多目标稳健优化；拉丁超立方抽样；灰色绝对关联度
中图分类号：TH215 文献标识码：A 文章编号：1001-0785 (2020) 24-0051-06
0 简介
起重机作为物料运输过程中的重要设备，其设计过程不仅需要满足强度、刚度、稳定性等原则，还需要保证其自身的可靠性、安全性、经济性[1]。目前，起重机结构轻量化设计研究已引起相关学者的广泛关注并取得了可喜的研究成果[2,3]。然而，起重机的结构尺寸、材料性能等都具有不确定性，这些不确定性可能导致产品的设计无法满足满足质量要求，降低产品的可靠性和安全性。为了保证经济性，进一步提高产品的可靠性和安全性，本文引入稳健优化设计的方法，达到提高产品可靠性和安全性，降低生产成本的目的稳健优化设计主要寻求一组最优解，使得当设计参数发生微小变化时，性能参数变化很小。目前比较成熟的稳健优化设计方法主要有解析式稳健优化设计方法和基于稳健优化设计方法近似模型。解析稳健优化设计方法主要是分析和研究系统稳健性的方法。研究人员需要建立明确的函数关系来反映功能需求与性能约束对设计变量的映射关系。但对于复杂的模型，建立明确的函数关系比较困难，因此需要模拟真实的物理模型或物理实验通过近似模型对复合材料的力学性能进行分析。近年来，近似模型在航空、汽车、船舶等结构、流体及多学科设计领域得到了广泛的应用和发展。杨卓毅、庞永杰等人将响应面法应用于多学科目标优化设计旋转船[4];余海莲等将响应面模型与多目标遗传算法相结合,应用于机床立柱的参数优化设计[5];张勇等将响应曲面模型应用于汽车优化设计[6]；顾海涛等将近似模型应用于水下滑翔机机翼的优化设计[7]；丁伟奇等将近似模型应用于车辆动态特性多目标优化设计[8]。大型客车结构[8]；陈小凯等人将改进的响应面法应用于汽车正面耐撞性的优化设计[9]。这些方法采用近似模型，以减少复杂实际问题分析所需的大量计算，但未考虑参数的不确定性导致设计参数发生微小变化时性能指标容易超出允许条件；陈永良等将近似模型应用于主轴箱的稳健优化设计，考虑了不确定参数的影响。与解析稳健优化设计相比基于近似模型的优化设计解决了复杂设计难以直接建立数学模型的问题，为工程实践中复杂工程的优化设计提供了便利[10]。目前，大多数方法处理起重机不确定性问题的主要方法是可靠性优化设计，而对起重机结构的稳健性研究较少，基于近似模型对起重机结构进行稳健设计的就更少了。
当起重机满载小车且位于主梁跨度中部时，主梁受力状况复杂，其强度、刚度与设计参数之间的映射关系难以用显式的数学公式清晰地表达出来。为此，本文将近似模型法应用于起重机主梁结构稳健优化设计，利用APDL语言建立起重机金属结构有限元仿真模型，并对其强度、刚度、稳定性进行分析。进行分析，采用传统许用应力法进行校核，保证有限元模型的准确性；然后采用拉丁超立方抽样法提取样本点，利用Isight集成软件拟合响应函数关系建立了基于方差的多目标稳健优化设计模型，并利用灰色绝对关联度对各设计变量进行求解。
1 起重机有限元模型的建立与验证
1.1 简化起重机有限元模型的建立
建立起重机金属结构有限元模型，为了便于建模，在不影响分析的前提下对模型进行简化，并采用如下假设：1）将整个金属结构整体化，取代实际焊接；2）不设轨道，轨道对主梁结构强度和刚度影响较小；3）在主梁上翼缘板相应位置采取节点组施加载荷，模拟主梁受力情况。轮压位置（小轮轮压位置取4个节点）。考虑到起重机箱梁结构板厚与长度之比较大，采用面单元进行网格划分，最终形成的节点数为31344个。图1为起重机箱形梁结构有限元模型。
图1 起重机主梁金属结构有限元模型
1.2 模型验证
由于有限元建模的简化和仿真分析过程中会产生误差，需要验证有限元模型是否能反映实际系统响应，是否满足实际工程的需要。本文主要采用许用应力法进行有限元分析。验证有限元模型的准确性。表1将有限元应力值、变形值与理论应力值、变形值进行了比较。从表1可以看出，应力有限元值与理论计算值之间的误差起重机金属结构变形量约为5%，变形有限元值与理论计算值误差约为10%，可以替代理论计算。
2 代理模型与鲁棒优化设计模型
2.1 实验设计
为了建立响应面模型，需要通过试验设计获取拟合所需的样本点，获取样本点的过程称为试验设计。本文采用拉丁超立方抽样法获取样本点。拉丁超立方抽样法超立方体抽样法是一种空间填充分层抽样方法。设试验设计中的因子个数为n，各因子的取值范围为：xi∈(xil,xiu)，i=(1,2,3 , ..., n)。拉丁超立方体采样过程可分为三步：1）定义样本数量N；2）将每个输入以相等的概率分成N列；3）从每列中仅提取一个样本拉丁超立方体设计具有样本记忆功能，可以避免重复提取已经出现过的样本点，采样效率高，可以使分布在边界上的样本点参与采样。该方法的优点是可以用较少的采样获得较高的计算精度。根据模型复杂度确定样本点数，一般对于5~10个变量的问题空间钢结构apdl参数化计算与分析 下载，建议样本点数为1.5×(n+1)·(n+2)/2，对于20至30个变量，建议样本点数为4.5×(n+1)·(n+2)/2，其中n为变量数。
2.2 近似模型
近似模型是在设计过程中采用计算量较小但能满足设计要求的数学模型来代替原有的不能或难以用显函数表达的仿真系统模型。与高精度数值模型相比，近似模型计算量小，计算简单，但计算结果与模拟结果高度接近，用近似模型代替传统的大量物理实验和复杂的数值模拟分析，在一定程度上在一定程度上促进了多学科、多目标优化设计的发展。响应面模型在设计空间中选取样本点，然后利用最小二乘法拟合函数，建立近似模型，它不仅具有简单的拟合模型，还能消除函数噪声，降低计算成本。因此，本文采用二阶多项式响应曲面模型进行模型拟合，其形式为
其中：ˆy为近似函数，xi为设计变量，k为样本点数，β为常数项，βi，βii，βij分别为一次项、二次项和交叉项的系数。
2.3 近似模型精度检验
一般用拟合优度指标来评价近似模型对样本数据的拟合精度。复相关系数R平方是描述相关性的拟合优度指标，可定义为
其中：yi为真实响应值；ˆi y为响应面估计值；为真实响应值的均值；k为试验样本点数；R2为拟合优度指数，越接近为1，拟合精度越高。
2.4 稳健优化设计模型
传统的确定性优化设计模型是
式中：x空间钢结构apdl参数化计算与分析 下载，x1，xu分别为设计变量及其上、下界，f(x)为目标函数，m为约束函数。
用方差来度量系统的稳健性，并考虑变量的独立性，建立基于方差的稳健优化设计模型，即
与确定性设计的目标函数相比，稳健优化设计的目标函数加入了所有约束条件的标准差，以保证在获得最优解的同时，降低目标函数对设计变量的敏感度。加入所有约束条件的标准差对约束条件进行约束可以保证最优解远离约束边界，即保证解的可行性。
3 多目标优化设计的灰色绝对关联度求解
灰色理论主要利用灰色关联度来分析因素与事物发展趋势之间的相似性，利用灰色关联度来确定影响事物发展趋势的主要因素，关联度越大，因素对事物发展的影响越大。反之，影响越小。灰色关联度克服了传统数理统计分析需要大量数据的不足，是一种样本数据较少、计算简单的分析方法。
设基准序列为s0，t为多目标函数个数，目标序列为s，则基准序列与目标序列的绝对相关度为
灰色绝对相关性的一个重要性质是当基准序列和目标序列中任何一个发生变化时，绝对相关性都会发生变化，这对于优化设计的迭代计算具有重要意义，因此可以利用相关性求解优化问题。一般优化设计是最小化目标函数，相关性计算是取相关性最大。因此在优化问题中引入灰度差异度为
利用灰色绝对关联度可将多目标优化问题转化为以差异度为目标的单目标优化问题，由灰色差异度公式可知差异度越小，绝对关联度越大，越接近目标序列与基准序列的距离越大，优化值越接近理想值。本文采用灰色绝对关联度法解决多目标优化问题，基准向量序列由优化过程中各目标函数的最优值组成单目标优化。优化设计对各个目标函数进行综合评价时得到的值即为目标序列。最优解是通过最大化基准向量序列与目标序列的绝对相关度得到的，即最小化不同之处。
4 起重机主梁多目标稳健优化设计模型
起重机主梁结构质量占总质量的60%，起重机主梁的坚固性决定了整个金属结构的坚固性，衡量起重机主梁性能的指标主要有强度、刚度主梁承载力和稳定性是影响该性能指标的主要因素，影响因素主要有主梁截面尺寸、起重载荷等可控因素和材料特性等不可控因素，本文主要考虑主梁截面尺寸不确定性的影响。 -截面尺寸对起重机主梁性能指标的影响，目的是减轻主梁自重，降低主梁强度、刚度等性能指标对设计变量的敏感性。取值范围不确定参数的分布如表2所示。
4.1 近似模型的拟合
以100组试验数据为样本点，利用Isight多学科设计集成软件中的响应面模块，对主梁跨中竖向静力刚度与最大应力建立二次多项式响应面模型，拟合公式为：
静刚度Y的拟合优度指数R2为0.999 83，强度的拟合优度指数R2为0.999 98，可以看出模型拟合优度指数大于0.9且接近于1，具有较高的精度，可代替实际模型进行计算。用主梁的截面面积来表示主梁的质量，即
4.2基于代理模型的起重机主梁多目标稳健优化设计
将代理模型代入稳健优化模型，建立起重机主梁多目标稳健优化设计模型：
式中：σ2Y(X)为经一阶展开的静刚度方差；σ2σ(X)为经一阶展开的强度方差。
4.3 多目标鲁棒优化求解
设f为截面面积，采用上述灰色绝对关联多目标求解方法进行优化求解，根据公式（4）和公式（5）可得
4.4 实例分析
表3为确定性结构优化与稳健优化结果对比表，从表中可以看出，由于考虑了不确定参数的影响，稳健优化质量比确定性优化提高了10.43%。增加的质量用于抵抗不稳定性。
表4为确定性结构优化与稳健优化后性能值对比表，从表中可以看出，传统确定性优化后，σ=166.75MPa，Y=43.91mm，均接近各自的临界值为176MPa、45mm，容易出现失稳现象。稳健优化后σ、Y分别为131.7MPa、36.16mm，比确定性优化具有更高的稳健性，证明了所采用的稳健优化设计方法的正确性在本文中。
表5给出了稳健优化前后各性能对各参数的灵敏度。稳健优化后，应力σ对设计参数[h，b，k，k1，k2]的灵敏度分别下降了9.59%、39.44%、20.98% 、0.063%和6.1%；竖向静刚度Y对设计参数[]h、b、k、k1、k2的灵敏度分别下降了74%、6.52%、9.43%、26.38%和6.46%。 ；结果验证了本文稳健优化设计方法的有效性。
5 结论
1）采用拉丁超立方抽样法建立起重机主梁结构性能指标近似数学模型。
2）将灰色绝对关联理论应用于多目标问题的求解，将多目标优化问题转化为以灰度差为单目标的单目标优化设计问题，从而得到有效的求解方法简单、快速地优化设计问题。
3）基于多项式响应面模型的吊车梁稳健优化结果表明，在满足约束条件的条件下，性能指标对各设计参数的灵敏度降低。
参考
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