结构稳定性分析浅谈（一）：屈曲分析
商业商场、写字楼等公共建筑由于其他建筑功能和效果的需要，可能会有穿层柱、长柱（层高相对较大）、穿层墙等。这些竖向构件相对细长，稳定性问题比较突出。在结构设计之初，对其稳定性问题进行研究和论证，常用的方法是屈曲分析。目前，业界存在多种不同的屈曲分析方法，尚无统一的方法，且大部分方法都存在明显的问题。本节主要讨论穿层柱、长柱等杆件的稳定性问题，穿层墙将在后续章节中讨论。
1 屈曲分析的理论前提
根据孙训芳《材料力学》第9章给出的如下公式（1），且教材给出了常见构件的计算长度系数，那么具体计算长度系数的物理意义是什么呢？陈少帆的专著《钢结构稳定设计指南》在第3章中解释了端部约束构件与承载力相同但两端长度不同的铰接杆进行比较。为什么要进行比较？进行比较有什么好处？这个就留给读者去思考了，可以写在评论区。
（1）
如果已知构件的截面、构件两端的约束以及构件的几何长度，则可利用上述公式直接计算构件的欧拉临界荷载。但建筑结构中的穿层柱、长柱的边界条件往往很复杂，这导致一个非常困难的问题，构件的计算长度系数无法通过材料力学中的表9-1得到。很多工程师采用另一种工具来求解此类竖向构件的临界荷载Fcr，即屈曲分析。屈曲分析的核心是求解如下公式（2）的特征值：
（2）
目前业内很多人把以此公式求得的欧拉临界荷载与柱在各种工况下的轴力包络值进行比较，如果实际轴力小于临界荷载，则柱是安全的。其实这种做法是完全错误的。比较流行的做法是利用上面公式（2）求得的临界荷载代入公式（1）计算长度系数，再将计算出的长度系数代入构件的稳定性校核公式计算出稳定系数φ，以此计算构件的稳定承载力。这种做法在理论上是比较完整的。对于钢柱，直接以屈曲分析求得的欧拉临界荷载作为稳定承载力，而不考虑残余应力、初始几何缺陷等对稳定承载力的影响。
2. 屈曲分析中最困难的问题
童根树老师在《钢结构平面内稳定性》中提到，轴向拉应力代表正刚度，轴向压应力代表负刚度，所以当压应力大到直接抵消柱本身刚度时，柱就会失稳。
根据公式（2）可知，构件刚度K已知，求屈曲系数λ需求G。G该如何选取？是取构件承受的1.0恒载+1.0活载作用下的轴力值，还是直接施加单位力？这里又要引出另一个问题，竖柱的相互支撑。在陈少帆先生的经典著作《钢结构设计原理》中，有一个计算长度系数2.69的经典例子，相信很多人都看过，这里我就贴出来下面大家一起讨论一下。
为了验证陈少帆教授书中计算的长度系数2.69与屈曲分析结果是否一致，采用同一模型进行屈曲分析，跨度和柱高均为5m，柱截面和梁截面均为300×300mm，材料为C30。根据屈曲分析计算，采用欧拉公式反算长度，如公式（3）所示。反算结果与解析解十分接近。
为了更透彻地说明问题，对陈老师书中的例子作了进一步的拓展。书中的例子是将垂直荷载W均匀分布到柱顶，相当于垂直荷载W/2作用在B点，垂直荷载W/2作用在C点。试想，若B点作用10W垂直荷载，C点作用W垂直荷载，则计算长度系数为多少？此时P左柱=10W，P右柱=W，H=10WΔ/h，将此公式代入陈老师专著中的公式2.2。手算解析解（4）与数值模拟计算的计算长度系数公式（5）完全一致。
从上面的分析可以看出，G对屈曲系数有显著的影响，进而影响柱的计算长度系数。这里，笔者想提出另一个概念来理解柱间的相互支撑。陈老师书中的例子中，右柱需要支撑左柱，右柱的计算长度系数之所以比悬臂大，是为了给右柱的稳定承载力留有一个余量。这个余量可以近似看作是计算长度系数为2的柱的稳定承载力与计算长度系数为2.69的柱的稳定承载力之差。这部分稳定承载力余量是在竖向荷载平均分担于左右柱的特定条件下，用来给左柱提供支撑的。 也就是说，设理想悬臂柱的稳定承载力为Ncr，则其需要预留F1来扶住左柱，而自身抵抗上部传来的荷载的承载力为F2，F1+F2=Ncr，
这就引出了我想讲的问题，也就是我在本节开头提到的问题。要解屈曲系数λ，我们需要知道G。G该如何选取呢？因为一个建筑结构一层通常有几十根柱子，其中强柱子必须为弱柱子提供支撑。很多结构工程师在做屈曲分析的时候，直接给柱子加上单位力，不管是1kN，100kN，还是10000kN，最后再乘以屈曲系数，总会得到一个临界荷载Ncr。但是这里我想说的是，请注意，这并没有考虑其他柱子上部荷载对柱子稳定承载力的影响。比如其他柱子受到轴向压力，会降低其他柱子的刚度，给柱子提供的支撑就会减少。比如其他柱子受到轴向拉力，会提高其他柱子的刚度，给柱子提供的支撑就会增加。那么在屈曲分析中，我们应该如何考虑相互支撑呢？ 加上单位力得到的Ncr就是我上面说的。柱在建筑物中原位置的边界条件是梁EI约束条件下的稳定承载力Ncr。这个承载力有一部分要用来支撑其他柱子。所以在设计这个柱子的时候，就要把剩余的量拿出来支撑。陈老师书上的案例就是通过增加计算长度系数来解决的。这样在设计柱子的时候就会得到一个更小的稳定系数φ，这样会把柱子的承载力降低的更多，剩下的量用来支撑。
从上面的例子可以知道，柱的相互支撑和柱的内力是息息相关的，所以笔者想指出的是，屈曲分析要通过实际的荷载情况来进行。就如上面两个例子，不同的竖向柱内力分布，由于相互支撑的影响，柱的计算长度系数也是不一样的。比如某建筑在1.3恒载+1.5活载下的轴力是case 1，地震参与的组合，柱内力分布是case 2，有风荷载参与的柱内力分布是case 3。这几种情况，通过反算得出的计算长度系数其实是不一样的，用单位力来算也不是不行，你做的Ncr可能还给其他柱提供了支撑。我觉得这里我已经把这个问题说清楚了。
另外，笔者在大量的工程中发现，在上述1、2、3种情况中，你即使计算几十种模态也不一定能找出柱子在哪一阶失稳。这个问题笔者无数次遇到过。直接对柱子加载单位力，一般会直接得到柱子的1阶屈曲模态。所以笔者目前能想到的方法是，在各个工况分析中，不管柱子是否发生屈曲，都取1阶荷载作为屈曲荷载（虽然这样不太对，但可以保守一点，快速得到计算长度），然后通过反算得到计算长度系数与单位力加载的结果进行对比分析，对计算长度系数进行综合评估。
我们回到最初的问题，对一般穿层柱和长柱做一些判断。试想一下，如果一般穿层柱一般又长又细，那么很可能是其他正常的柱子为穿层柱提供支撑，除非在特定工况下穿层柱处于受拉状态，而其他柱处于受压状态，那么他应该为其他柱子提供支撑。比如某民用办公楼底层的长柱高度超过10米，且这一层的截面一致，那么应该由强柱为弱柱提供支撑。
当然，很多通用程序中都有继承刚度的选项，可以利用各种载荷组合得到工况进行非线性分析钢结构稳定设计指南，得到构件轴向力对构件刚度的修正刚度模型，然后在此基础上进行屈曲分析。
3. 屈曲分析中长度因子反算的另一个问题
目前常用的屈曲分析程序有SAP2000、ETABS、MIDAS-Gen等。笔者在使用时又发现了一个问题，笔者对前文提到的材料力学中几种特殊约束类型的竖向柱进行了变参数分析，反算长度系数，并通过反算竖向构件尺度考察了计算长度系数的影响。话不多说，直接上图。从下面可以看出，并不是所有的柱子都适合做反算，可能存在稳定性问题的柱子几何长度与边长的比值基本都大于10，这样可以看出反算结果与理论值比较接近。有的混凝土柱几何长度与边长的比值小于5，用反算法反算长度系数是不合适的钢结构稳定设计指南，当然这些柱子一般不存在稳定性问题。
四、结论
到这里关于屈曲分析的几个问题就讲完了，我来总结一下。
1.对于一般的民用建筑，当柱的截面尺寸不大时，在恒定荷载作用下，柱顶荷载可以相差不大，但在其他侧向荷载作用下，当柱的内力相差较大时，应考虑相互支撑对稳定承载力的影响；
2、用屈曲分析的临界荷载与柱的轴力大小进行比较来判定柱是否安全是错误且不切实际的，应采用反计算长度系数法计算，然后代入标准公式来验算其稳定承载力（这样可以考虑其他因素对构件稳定承载力的影响，如钢构件残余应力、初始几何缺陷等）；
3、在进行各工况下的屈曲分析时，如果找不到柱子的屈曲模态，则可直接将一阶屈曲模态对应的屈曲系数乘以该工况下柱子的轴力，直接求出其屈曲荷载再反算其计算长度系数（虽然这样并不恰当，但较为稳妥）；
4、直接利用单位力法求得的临界屈曲载荷实际上没有考虑相互支撑的影响。可采用多种载荷组合得到工况进行非线性分析，得到构件轴向力对构件刚度影响的修正刚度模型，然后在此基础上进行屈曲分析。
参考
陈少帆著《钢结构稳定设计指南》
陈少帆著《钢结构设计原理》
陈吉主编的《钢结构稳定性理论与设计》
童根树著《钢结构平面内稳定性》
结构彼得潘
2022年8月21日，深圳
