做
经过
袁焕新 郭鹏 郭宇 杜欣曦
概括
采用理论推导与有限元法对冷弯不锈钢矩形管截面弯曲构件挠度发展及计算方法进行研究，基于截面应力分布及弯曲角度的影响推导了截面边缘屈服矩计算公式，通过与301个算例的数值积分结果对比，验证了计算公式的准确性。利用有限元软件ABAQUS建立考虑几何初始缺陷及冷弯残余应力的精细化有限元分析模型，并基于现有试验结果验证了模型的准确性。基于有限元分析结果对近似曲率法初始刚度进行修正，提出了冷弯不锈钢矩形管截面弯曲构件挠度发展修正计算方法，并将修正计算方法与现有其他3种计算方法进行了对比。结果表明，修正后的近似曲率法计算公式能更准确地反映弯曲构件挠度发展情况。
关键词：冷弯不锈钢；矩形管截面；弯曲构件；挠度发展；计算方法
摘要：利用解析推导和有限元法，提出了一种冷弯不锈钢矩形截面受弯构件挠度计算方法。考虑了角部应力分布和影响，得到了翼缘初始屈服时对应的公称屈服矩计算公式。为了验证新公式的准确性，通过数值积分生成了共 301 个模型，并与表达式的预测值进行了比较。
使用 ABAQUS 开发了 FE 模型，并考虑了初始几何缺陷和冷弯残余应力。根据现有测试结果进一步验证了这些模型。基于数值结果，引入了近似曲率法中初始刚度的一个新的折减系数，从而提出了一种用于计算矩形空心截面冷弯不锈钢受弯构件挠度的新修正公式。与其他三种现有方法相比，这种新方法可以更准确地预测受弯构件的挠度。
关键词：冷弯不锈钢；矩形空心截面；受弯构件；挠度发展；计算方法
由于冷加工效应和非线性材料特性，冷弯不锈钢受弯构件挠度发展表现出明显的非线性特征[1-2]，准确计算其挠度往往比较复杂[3]。目前，国内外一些学者对冷弯不锈钢矩形管截面弯曲构件挠度发展开展了相关研究。JOHNSON等[4]提出将切线模量应用于不锈钢梁的挠度计算；RASMUSSEN等[5]对不锈钢矩形管弯曲构件进行试验研究，提出了一种基于割线模量的挠度计算方法；REAL等[3]给出了基于连续条件对弯矩-曲率曲线进行二次积分得到的荷载-挠度关系曲线；王元清等[6]对冷弯不锈钢矩形管弯曲构件的挠度发展进行了研究。 [6]采用有限元法对双轴对称工字形不锈钢受弯构件进行参数分析，通过线性拟合给出了荷载-挠度近似计算公式；郑宝锋等 [7]采用基于平截面假设和Ramberg-Osgood公式的近似曲率法给出了挠度计算表达式。
目前各国设计规范中给出的冷弯不锈钢矩形管截面变形计算方法也有所不同，欧洲标准EN 1993-1-4[8]和美国标准SEI/ASCE 8-02[9]均采用平均割线模量法计算挠度，而中国《不锈钢结构技术规范》(CECS 410:2015)[10]则采用近似曲率法计算受弯构件的挠度。
现有的不锈钢受弯构件挠度计算方法中，边缘屈服矩的计算过程往往比较复杂，且未考虑冷弯残余应力的影响。因此，本文首先推导了考虑弯曲角度影响的冷弯不锈钢矩形管截面受弯构件边缘屈服矩的简化计算表达式，并与数值积分结果进行了比较。基于现有的试验结果，建立了精细化有限元分析模型。在考虑截面残余应力的基础上对现有的近似曲率计算方法进行修正，提出了一种冷弯不锈钢矩形管截面受弯构件挠度计算方法，旨在为我国《不锈钢结构技术规范》的修订提供参考。
1. 截面边缘屈服弯矩
1.1 推导思路
冷弯加工过程中会引起材料应变硬化，矩形管截面角部区域、过渡区域、平板区域的材料力学性能差异较大[11]，构件截面加权平均屈服强度一般采用公式（1）计算[12]：
冷弯不锈钢矩形管截面弯曲构件边缘屈服矩M0.2的推导采用以下思路：（1）推导直角矩形截面的边缘屈服矩M0.2,b钢结构梁挠度限值，如图1a所示）；（2）计算直角与转角处转角弯矩M0.2,tr的差值，用M0.2,b减去M0.2,tr，即可得到有转角的矩形管截面的边缘屈服矩M0.2，如图1b所示）。
图1 矩形管截面边缘屈服矩
图1矩形空心截面公称弯曲屈服矩
1.2 直角矩形管截面
矩形管截面边缘屈服矩M0.2,b由腹板和翼缘的贡献M0.2,w和M0.2,f组成。腹板的贡献M0.2,w可基于平截面假设和截面积分得到。基于平截面假设和Ramberg-Osgood表达式给出材料应力-应变关系模型。距中心轴高度h与截面法向应力σ的关系如公式（2）所示。沿高度方向对dM=σthdh积分，得到M0.2,w的积分表达式如公式（3）所示。
M0.2,w的表达式涉及多个参数，需要注意的是，公式（3）中方括号内的内容仅与应变硬化指数和公称屈服强度有关，而括号外的部分接近于腹板弹性边屈服矩的表达式。因此，可以引入材料非线性参数α，将M0.2,w的计算表达式改写为：
图2 线性拟合结果
图2线性拟合结果
经过多元线性回归，α的表达式如下：
对公式（6）的误差进行分析。由于α与截面性质无关，取72个不同n和e的截面进行计算，结果如图3所示。图中横坐标为通过数值积分与弹性理论计算得到的腹板边缘屈服矩比值M0.2,w/Mel,w，即参数α的真实值；纵坐标ρ=α/(M0.2,w/Mel,w)，为参数α的回归公式与其真实值的偏差。结果表明，利用回归公式计算的最大误差仅为0.3%，充分验证了所提计算公式的准确性。
图3 参数α精度分析
图3 α的精度分析
翼缘屈服矩M0.2,f由将翼缘沿高度方向离散成细观单元后通过数值积分得到，其表达式如式（7）所示。截面应力σ与高度h的关系曲线在H/2-t与H/2之间为单调递增的凹函数。根据积分第一中值定理，在H/2-t/2与H/2之间必定存在唯一一个高度为h1的点，因此M0.2,f可表示为该高度处的应力值σh1，如式（7）所示。
图4 法兰应力分布
图4 法兰应力分布
n=5~16、不同高厚比H/t的截面计算结果如图5所示，其中纵坐标κ=M0.2,f/M0.2,f,m，M0.2,f为公式（8）计算结果，M0.2,f,m为数值积分的结果。虽然随着高厚比和应变硬化指数的减小，公式计算结果的偏差会增大，但CECS 410:2015[10]和《结构用冷弯空心钢》（GB/T 6728-2017）中给出的方形和矩形截面尺寸表中H/t的最小值为10钢结构梁挠度限值，此时κ的最大值仍然小于1.03，反映了简化计算公式的准确性。
图5 高厚比H/t的影响
图5高厚比H/t的影响
1.3 弯曲矩形管截面
矩形管截面弯曲与直角区域对比如图6所示。将直角区域折算为弯曲区域会降低截面边缘屈服矩，两者之差为M0.2,tr。图中Ω1区域由M0.2,b和M0.2共用，因此M0.2,tr对应的是Ω3区域与Ω2区域的矩差。弯曲矩形管截面边缘屈服矩M0.2的计算公式见式（9）、式（10）。
图6 角部区域与直角区域对比
图6 圆角与直角边角区域对比
为了简化计算，将hri和hro替换为H/2，将σhri和σhro替换为σ0.2，则M0.2,tr的表达式重写为：
式中：M0.2,cor为弯曲区域边缘屈服矩；r0为弯曲内半径。
将折弯区域边缘屈服矩的数值积分结果与简化公式计算的结果进行对比，如图7所示。图中横轴为折弯外半径与壁厚的比值，纵轴β=M0.2,tr/(M0.2,b-M0.2)，其中M0.2,tr为公式(11)计算值，M0.2,b-M0.2为数值积分结果。分析可知，简化计算公式与数值积分结果误差较小，最大仅为4.17%，且截面折弯占整体的比例较小，因此简化计算公式的误差在可以接受的范围内。
图 7 参数 ri/t 的影响
图7 ri/t的影响
综上所述，冷弯圆角不锈钢矩形管截面边缘屈曲弯矩M0.2的计算表达式为：
在常用范围内选取不同的径厚比ri/t、高厚比H/t、应变硬化指数n和归一化屈服强度e，获得301个不同截面，将提出的截面屈服矩计算公式与数值积分结果进行对比，如图8所示，其中M0.2为公式（13）的计算结果，M0.2,m为数值积分结果。所有数据均在0.998~1.008之间，平均值为1.003，标准差为0.002，表明利用公式（13）计算的截面屈服矩具有较高的精度。
图8 M0.2/M0.2,m的频率分布
图8M0.2/M0.2,m频率分布
2 有限元分析
2.1 现有实验研究数据
现有的冷弯不锈钢矩形管截面弯曲构件变形性能试验数据如表1所示，涉及奥氏体、双相和铁素体3种不锈钢类型，共6个牌号，包括方管和矩形管2种截面形式，共计10个尺寸。
2.2 有限元模型
利用ABAQUS软件建立精细化有限元分析模型，采用4节点四边形有限膜应变减少积分壳单元S4R进行网格划分，采用两个集中力对称加载于杆件中部纯弯曲段，两侧支座边界条件分别约束除轴向位移（U3）和面内弯曲（UR1）外的4个自由度，约束杆件跨中轴向位移（U3）。模型仅1/2采用对称搭建，中段对称边界条件分别约束除竖向位移（U2）外的所有自由度。左半梁模型如图9所示。通过特征值屈曲分析得到杆件弯曲屈曲形貌，利用*IMPERFECTION命令在有限元模型上施加幅值为杆件跨度1/1000的几何初始缺陷。
图9 左半梁有限元模型
图9 左半梁有限元模型
由于冷弯效应，矩形管截面内存在相对复杂的残余应力分布。有限元模型采用Gardner等[15]提出的冷弯残余应力简化分布模型，如图10所示。利用子程序Sigini引入截面残余应力。在单元厚度方向设置5个积分点（图11）。在点4、5处沿构件纵向施加拉应力，在点1、2处施加压应力。
图10 残余应力分布模型[15]
图10 残余应力分布模型[15]
图11 壳单元积分点示意图
图11壳单元积分点示意图
2.3 有限元与试验结果对比
利用建立的精细有限元模型对试件进行模拟，有限元计算的弯曲承载力MFE与试验结果MExp的对比见表2。MFE值与文献中的试验一致，为极限承载力。有限元与试验结果的比值平均值为1.01，对应的标准差为0.03。同时，有限元模拟与试验曲线的对比如图12所示。可以看出，考虑残余应力的有限元模拟曲线与试验曲线吻合较好，验证了建立的有限元模型的准确性。
在不考虑截面残余应力的情况下对模型重新进行计算，将有限元模拟得到的曲线也绘制在图12中。可以看出，不考虑截面冷弯残余应力的有限元模拟曲线的初始刚度高于实验曲线，而考虑残余应力的曲线与实验曲线的一致性更好。
图12 有限元与试验结果对比
图12 有限元与试验结果对比
3 挠度计算方法
3.1 挠度计算公式
现行CECS 410:2015[10]中采用的近似曲率法未直接考虑截面残余应力的影响，因此，在考虑截面冷弯残余应力的基础上对近似曲率法进行修改。基于已验证可靠的有限元分析模型，采用奥氏体S30408、双相S22253和铁素体S11213 3个牌号的不锈钢，对应材料力学性能如表3所示。建立包含各种截面宽厚比B/t和高厚比H/t的数值模型实例，覆盖欧洲标准EN 1993-1-4[8]中的第1～4截面。截面冷弯残余应力引起的初始刚度折减系数γ的变化规律如图13所示。
图13 初始刚度折减系数γ参数分析结果
图13 初始刚度折减系数γ参数分析结果
从图13可以看出，宽厚比的影响较小，而高厚比的影响较为明显，因此采用以高厚比为参数的二次多项式对系数γ进行拟合，拟合系数如表4所示。
综上所述，建议截面曲率计算公式如公式（14）所示，对公式（14）积分两次即可得到构件挠度。
3.2 与现有计算方法的比较
