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金波是一级注册结构工程师，教授级高级工程师，出版过《高层钢结构设计计算实例》、《钢结构设计计算实例—基于GB 50017-2017》等著作。本文节选自作者即将出版的《建筑结构设计疑难问题分析》。
有结构工程师问：为什么柱下独立桩基础不需要输入桩基础刚度，而柱、墙下桩筏基础却要输入桩基础刚度？桩基础刚度的数值如何确定？
对于柱下独立承台桩基础，依据《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008的公式，采用PKPM及YJK软件进行计算。
建筑桩基技术规范JGJ 94-2008第5.1.1条规定，对于水平力（包括弯矩和水平剪力）较小的一般建筑物及高层建筑桩基础，应采用下式计算桩顶作用对柱、墙、芯管桩群中基础桩或复合基础桩的影响：
（1）轴向垂直力作用下：
（2）偏心垂直力作用下：
建筑桩基技术规范JGJ 94-2008第5.2.1条规定，桩基竖向承载力计算应符合下列要求：
（1）轴向垂直力作用下：
（2）在偏心垂直力作用下，除满足式（3）外，还应满足下列要求：
建筑桩基技术规范JGJ 94-2008第5.1.1条的解释指出，桩顶竖向力和水平力的计算应在上部结构分析的基础上进行，以将荷载集中在柱底和墙底。由此，对于柱下独立桩基础，基于承台为刚性板，反力呈线性分布的假设，得到各桩或组合桩顶竖向力计算公式（1）和（2）。承台为刚性板，承台下各桩的反力呈线性分布。因此，不需要输入桩基刚度就可以求出桩基反力。
但对于多柱帽桩基础、墙帽桩基础等复杂桩基础，如果仍采用垂直力公式（1）、（2），将多柱及剪力墙的多边形外面积视为单柱，得到的桩基础反力可能不是十分准确。
以YJK软件为例[1]，采用非有限元法（标准公式（1）、（2）法）进行计算时，当承台由多柱与剪力墙或短肢剪力墙组成时，用户将桩帽与周边的桩帽一起布置。在桩帽计算程序中，程序首先计算承台上所有垂直构件传递的荷载，在处理桩帽上所有垂直构件的荷载时，程序将剪力墙的均布荷载简化为作用在一根虚拟截面为100x100的柱上的节点荷载。显然，软件的简化没有考虑垂直构件间刚度的差异，桩基础受力很可能是不真实的。
因此针对多柱承台桩基础、剪力墙下承台桩基础等复杂桩基础，结构软件PKPM和YJK均提供了有限元分析模式。
以YJK软件为例，针对筏板与基础梁组成的整体式基础，采用“考虑上部刚度的弹性基础梁板法”进行分析，计算过程如下（图1）：
（1）读入各种荷载，包括底墙、柱荷载、附加荷载、覆盖层重量、基础自重、水浮力、人防荷载、起重机荷载等；
(2) 自动网格划分；
（3）生成基础梁、板单位刚度矩阵并组装；
（4）读入压缩至基础上部的上部结构刚度；
(5) 形成桩、土刚度矩阵；
（6）形成总刚度矩阵，代入求解器，计算节点位移、弹簧反力、筏板内力，将弹簧反力换算为基底压力和桩反力，为配筋设计、沉降计算、地基土、桩承载力校核做准备。
图1 筏板+基础梁+桩、土组成的整体基础
“考虑上部刚度的弹性地基梁板法”计算公式为：
显然，若采用“考虑上部刚度的弹性地基梁板法”有限元法计算桩基础，需要输入桩的刚度，求出桩的刚度矩阵pkpm建筑钢结构工程设计实例，才能建立公式（5）的矩阵方程，根据矩阵方程计算出节点位移、弹簧反力、筏板内力，并将弹簧反力折算为基底压力和桩反力，从而进行加固设计、沉降计算、地基土及桩承载力校核等。
“考虑上部刚度的弹性地基梁板法”的思想已在规范中的一些条文中得到体现，具体内容见表1。
从表1中可以看出，当不满足规范以下假设条件时（独立基础台阶宽高比≤2.5、条形基础梁高度不小于柱距的1/6、梁板筏基础梁或平筏基础梁高跨比不小于柱距的1/6、梁板筏基础梁高跨比不小于1、底板厚跨比不小于1/6时），无法按照规范中的公式计算基础内力，只能按照考虑上部刚度的弹性地基理论计算基础内力。
（a）线性分布（大写字母刚度）（b）非线性分布（小写字母刚度）
图2 桩基反力分布
从公式（5）可以看出，不同的桩基刚度会导致不同的节点位移，从而导致不同的桩基反力、沉降、承台内力配重。以250m高层双塔建筑为例，土体参数见表2。采用钻孔灌注桩，工程桩身直径d=1000mm，以（4-2）层风化泥岩为持力层，桩端进入持力层，强度层为9.0m，桩端及桩侧采用后压浆。单根工程桩竖向抗压承载力特征值为Ra=11000kN，工程桩身混凝土强度等级为C45。
表2 各层土体的物理力学性质
两栋超高层建筑共计6根试桩，单根试桩竖向抗压承载力特征值Ra=11400kNpkpm建筑钢结构工程设计实例，试桩结果见表3。
表3 单桩垂直抗压静载试验结果
从表3中可以看出，试桩4承载力特征值对应的沉降最大（10.81 mm），试桩1承载力特征值对应的沉降最小（5.64 mm），沉降量相差近一倍，因此基底刚度自然也会相差一半。
目前，解决工程桩基础刚度的方法主要有三种（图3）：
图3 YJK软件桩基刚度输入菜单
（1）根据试桩静载试验的QS曲线计算桩基刚度
根据试桩静载荷试验的QS曲线，桩基刚度按下式计算：
与加载到桩基础上的建筑结构重量相比，试桩静载试验时间较短，一般为3～7 d，且试桩完成的沉降只占最终沉降的一定比例。在计算地基刚度时，需加大试桩沉降，即在试桩刚度上乘以折减系数[2]。
试桩1刚度
四舍五入为 1500000 kN/m。
测试桩4刚度
四舍五入为 750000 kN/m。
工程桩刚度分别取750000 kN/m、1500000 kN/m，计算核心管下桩基反力和桩基垂直位移分别如图4、图5所示。
（a）桩基刚度750000 kN/m
（b）桩基刚度1500000 kN/m
图4 桩基反力
从图4可以看出，当工程桩刚度为750000kN/m时，核心管下桩基反力满足Nkmax≤1.2Ra；但当工程桩刚度为1500000kN/m时，核心管下桩基反力Nkmax≤1.2Ra，且大于1.2Ra，不满足桩基承载力的要求。
（a）桩基刚度750000 kN/m
（b）桩基刚度1500000 kN/m
图5 桩基竖向位移（非迭代计算）
从图5可以看出，当工程桩刚度为750000kN/m时，核心管下桩基竖向位移为14~15mm；但当工程桩刚度为1500000kN/m时，核心管下桩基竖向位移减小，最小为8~9mm，桩基竖向位移减小，导致桩基反力增大。
（2）按《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008附录C计算桩基刚度
在建筑桩基技术规范JGJ 94-2008附录C表C.0.3-2中，有桩顶产生单位垂直位移时，桩顶集中力的计算公式（图6）：
图6 桩顶产生单位竖向位移时桩顶集中力示意图
地基土水平抗力系数比例系数应通过单桩水平静载试验确定，当无静载试验资料时，可按表4取值。
表4 地基土水平抗力系数比例系数
注：1、当桩顶水平位移大于表所列数值或灌注桩配筋率较高（≥0.65%）时，该值应适当减小；当预制桩水平位移小于10mm时，该值可适当增大；
2.当水平荷载为长期或经常发生荷载时，应按表格值乘以0.4减少该值；
3、当地基为可液化土层时，表格值应乘以《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008表5.3.12中相应的系数。
当桩侧由多层土层组成时，应取主要影响深度米范围内的值作为计算值(图7)。
当深度范围内存在两层不同的土层时：
当深度范围内存在三个不同的土层时：
图7 桩顶产生单位竖向位移时桩顶集中力示意图
桩顶产生单位竖向位移时桩顶所受的集中力，实际上就是桩基的刚度。以下依据《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008附录C对本工程桩的刚度进行计算。
与根据《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008附录C采用YJK软件计算得出的桩基刚度869426 kN/m完全一致。
顺便说一下，桩基规范5.7.4、5.7.5和附录C中水平承载力和位移的计算都是基于m法进行的。这种方法的全称是“利用地基系数进行分析的幂级数法”。我院胡仁礼教授较早对这种方法进行了系统的求解和整理。其思路是假设土体为弹性变形介质，具有随深度成比例增大的地基系数，然后用幂级数法求解桩的弹性变形微分方程，进而求解水平承载力和位移。m法的详细推导和计算过程在胡仁礼教授的《桥梁桩基分析与设计》一书中有介绍。完全看懂这本书需要非常扎实的数学基本功和很强的计算能力。对m法的推导也要求很高[3]。
(3)根据地质资料反算桩基刚度
本例根据地质资料反算得到的桩基刚度为953644 kN/m。
上述3种桩基刚度计算方法的计算结果如表5所示：
不同桩基刚度计算方法计算结果表5
注：1、沉降计算采用《建筑地基基础设计规范》GB 50007-2011附录R中的实体深基础法；
2、YJK软件沉降计算参数中有“迭代计算”的选项，勾选此选项后，软件会根据《建筑地基设计规范》GB 50007-2011第5.3.12条计算沉降值（若在同一大面积基础上建有两座结构，则按下列方式重复计算）：对于多座高层和低层建筑，变形计算时宜考虑上部结构、基础和地面的共同作用），采用迭代法计算沉降。迭代法包括两部分，一部分是采用有限元法（考虑上部刚度）计算竖向沉降，第二部分是采用分层总和法计算沉降。程序自动调整地基刚度，使竖向位移和沉降一致，实现“上部结构、基础和地面共同作用”。“迭代计算”步骤如下：
（1）沉降计算——>确定桩初始刚度和地基反力系数；
（2）第一次有限元计算得到第一次位移，根据桩土刚度和位移得到桩反力和桩底压力，计算第一次沉降；根据位移与沉降的差值更新桩土刚度；
（3）第二次有限元计算得到新的位移，再次采用桩反力和底压力分层求和法计算得到新的沉降，校核位移与沉降差，更新桩土刚度；
（4）重复多次迭代，直至位移与沉降之差小于允许值。
需要注意的是，YJK软件的“迭代计算”只用于沉降计算，不用于桩反力计算。
从表5可以看出，随着工程桩刚度的增大，核心管下桩基竖向位移减小，核心管下桩基反力增大，考虑经济性，本例最终选取桩基刚度为750 000 kN/m进行桩基设计，按非迭代计算取桩基竖向位移为15mm。
正如桩基沉降计算需要确定沉降计算经验系数一样，桩基刚度的输入也需要经验的积累，也就是设计工程项目沉降观测值的积累，用Ra除以沉降观测实测值即可计算出工程桩的桩基刚度。
[1] 北京英建科软件有限公司.基础设计软件YJK-F使用手册及技术规范.2012.
[2] 中国建筑科学研究院PKPM CAD工程研究所. JCCAD(2010版)用户手册及技术规范. 2011.
