#上篇文章我们讲了欧拉与俞伯牙，体会了欧拉公式、欧拉恒等式的数学之美，讨论了解决轴心受压杆临界承载力稳定问题的“静力法”与“动力法”，还讲了抗屈曲约束支撑的原理以及如何避免误区。
本文将研究解决轴向压缩杆稳定性问题的“变分法”及其假设。
01
轴压杆稳定性问题的变分法求解
除了“静态方法”和“动态方法”外，还有其他方法可以解决轴向压缩杆的稳定性问题吗？在《终极科学真理存在吗？》等文章中，我们多次讨论了“最小作用量原理”和“变分法”。大家应该对尼古拉斯·曼顿的下面这句名言有所了解：“用一个统一的观点来贯穿整个物理世界就是变分原理，它的最重要例子就是最小作用量原理。几乎所有成功的物理理论都可以用这个观点来解释，它是现代物理学的核心。”（摘自《后费曼物理讲座》前言）
接下来我们利用变分法来求解轴向压缩杆的稳定性问题。为了表述方便，
表达
的1~4阶微分。
由上可知，纯弯构件任意截面的弯矩与曲率、转角、位移都有如下关系：
在哪里：
— 横截面曲率、旋转角度和位移；
- 弯矩；
——弹性模量；
——界面惯性矩。
杆的应变能为：
杆的势能为：
当变形较小时，上式中杆的势能可简化为：
假设变分法中的拉格朗日量
形式如下：
然后是动作量：
动作变化为：
根据最小作用量原理，对于任意
，必须满足
，必有：
对于两端铰接的杆，几何条件为
，满足几何条件的杆的变形一般可以用三角函数表示为：
在哪里：
——变形三角函数分量的振幅。
代入上式钢结构稳定理论，当杆变形为单个三角函数分量时，可得：
数学真美！微积分真伟大！你懂了吗？
轴心受压杆稳定性问题可用“静力法”、“动力法”和“变分法”求解，这些方法按照物理原理列出常微分方程、偏微分方程和积分方程，得出了相同的物理结论。
多么令人惊叹的人类智慧！
02
轴向压缩杆稳定性求解方法中的假设
无论采用上述哪种方法解决轴心压缩杆的稳定性问题，都隐含着如下假设：
1）理想均匀直杆假设：杆件无初始应力、初始缺陷、初始偏心或初始变形；
2）理想边界约束假设：构件两端理想地固定或者铰接；
3）材料弹性假设：弹性模量
保持不变；
4）小变形假设：构件横向变形远小于构件轴向长度；
5）平面截面假设：构件变形后，截面仍保持平整；
6）一维正应力假设：构件受力变形后钢结构稳定理论，横向正应力恒为0。
理解物理问题解决中的假设非常重要，每一个假设都限制了其解的适用范围，一旦假设不再成立，结论就会出现较大的误差甚至错误，这点我们在后面的文章中会慢慢体会到。
03
为什么以欧拉的名字命名呢？
还有一个有趣的问题值得一提。我们通常采用轴压杆稳定性的临界承载力公式为
它被称为“欧拉稳定性公式”。这个公式是欧拉首先推导出来的吗？
查阅文献后，我发现欧拉除了在数学上做出的杰出贡献外，还在古典力学的发展中扮演了关键角色，被认为是分析力学的创始人之一。他是约翰·伯努利的学生，约瑟夫·路易·拉格朗日的老师，他们共同开创了变分法这一强大的数学和科学工具。
但似乎没有直接证据表明轴压杆临界承载力计算公式是欧拉首先推导出来的。虽然变分法是分析力学的一个基本方法，但轴压杆临界承载力计算公式却被称为“欧拉公式”。稳定性公式这个说法总显得牵强，而且这个说法似乎弱化了欧拉对分析力学的贡献，因为稳定性问题只是分析力学的很小一部分。通过“变分法”，我们的确可以得到轴压杆稳定临界承载力计算公式。但如果以欧拉的名字命名，那么很多现代物理定律前面都应该冠以欧拉的名字，难道不应该还加上一长串其他数学家、物理学家的名字吗？
我想欧拉一定很讨厌后人滥用他的名字。他的名字只应该与那些他直接贡献的伟大公式联系在一起（比如将复指数对应到三角函数的“欧拉公式”）。这才是对他真正的尊重。
04
钢结构真的那么理想吗？
通过对轴心受压杆稳定性的讨论，大家可能会觉得钢结构比混凝土结构“优雅”一些，了解钢结构的受力状态，设计钢结构可能比混凝土结构更容易一些，这也是我大学毕业时的想法。真的是这样吗？下篇文章我们继续讨论。
结尾
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