我们先来看两个公式：
我大学时不喜欢“混凝土”，但很喜欢“钢结构”，原因从上面的公式就可以看出来。第一个公式是小偏心受压钢筋混凝土构件对称配筋受压区相对高度的近似计算公式。第二个公式是轴心受压钢构件欧拉稳定临界承载力计算公式。
一眼望去，第一个公式复杂，系数莫名其妙；第二个公式简洁明了，推导过程也非常数学美。所以继续读硕士的时候，就选了钢结构方向，以为还能看懂，不然学完混凝土怕是太乱了，没因缘！
三十年过去了，很多观点都变了，包括对混凝土和钢结构的看法。后面的文章会讨论钢结构的稳定性，也会讲一些结构工程专业观点的变化，挺有意思的。
欧拉
莱昂哈德·欧拉视力很差，在生命的最后几年几乎失明。看来许多伟大的数学家、物理学家和音乐家的视力都很差，也许是因为这样更利于深度思考。他的贡献是巨大的，在很多领域都留下了他的名字，包括欧拉对于多面体的定理，欧拉对于立体解析几何的变换公式，欧拉对于四次方程的解，数论中的欧拉函数，复变函数的欧拉公式，级数论中的欧拉常数，常微分方程中的欧拉方程和变分学的关键定理，欧拉-拉格朗日方程（EL方程）等等，著名的欧拉公式（欧拉恒等式）给人留下了很深的印象：
欧拉恒等式太美丽了！
美在哪儿？一个简单的公式，包含了人类最伟大的数学发现：0、实数单位1、虚数单位i，以及两个最常用的无理数（超越数）。
和
（自然对数的底数
欧拉恒等式（又称欧拉公式）是数学中一个重要的公式，由于欧拉恒等式的严密性和严密性，有人把欧拉公式和欧拉恒等式称为“上帝创造的公式”。
拉普拉斯曾经说过：读欧拉吧，他是每个人的老师。
结构不稳定
（图片来自网络）
回到结构工程专业，看到上述钢结构失稳破坏的案例，一定希望找到一种简单有效的方法来理解和避免这种情况。钢结构的稳定性一般从最简单的轴压杆稳定性问题开始研究，逐渐转向更复杂的情况。
《材料力学》、《结构力学》、《钢结构》等大学教材中给出的解决轴心压杆稳定问题的经典解析方法钢结构稳定理论，已经有几百年的历史了，重新研究它还有意义吗？
好玩的地方就在这里，越是久远的理论，我们越不敢去触碰，不过，思考经典理论，也是提升认知的有效途径，下面我们来讨论一下轴压杆稳定临界承载力的计算公式，快来体会一下吧。
轴压杆稳定性问题的“静力法”解法
两端铰接的均匀轴向压缩杆的稳定性问题如下图所示：
上述轴压杆的稳定性问题该如何解决呢？最经典的解决方法当然是基于力平衡的“静力法”。从杆的任意截面取出隔震体，其力平衡状态与截面弯矩-曲率关系如下图所示：
力平衡很容易理解。美丽的弯矩-曲率关系是基于后面将要讨论的几个假设而得出的。静力平衡的逻辑非常清晰，充分体现了微积分的巨大价值。
据此，根据静力平衡可得到轴向压缩杆稳定性问题的微分方程为：
在哪里：
——弹性模量；
——截面惯性矩；
——轴向压力。
现在很简单。上面的方程是一个二阶常数系数齐次线性微分方程。有一个标准的数学解法（闭着眼睛做就可以了，该方法已经经过严格的数学证明）：
，其特征方程为
，特征根
，
，则上述微分方程的两个线性无关的特殊解为
，
，其通解为：
对于长度
带有铰链末端的杆具有：
代入通解，我们可以得到
，对于任意
，
，
，可得到轴心压缩杆稳定问题的临界承载力：
什么时候
小时，
与上图相对应的最小值是我们所熟悉的轴向压缩杆的“单波”临界承载力。
这个求解过程充满了数学之美，是不是很美？
轴压杆稳定问题的“动态法”解法
轴压杆稳定性问题可用“静态法”或“动态法”解决。“动态法”的基本思想是：当轴压力较小时，小扰动消失后轴压力趋于稳定，中心压杆作无阻尼自由振动，随着轴压力的增大，中心压杆的振动周期增大，当轴压力增大到中心压杆振动周期为无穷大时，对应的轴压力即为轴压杆的稳定承载力。
受到均匀轴向力的杆的运动可以用以下偏微分方程表示：
在哪里：
——杆的质量密度。
（找一本《结构动力学》，看看这个偏微分方程的由来和解法，也许就能理解肖邦的钢琴和博雅弹钢琴背后的力学和数学原理了，呵呵。）
求解上述偏微分方程，可得到两端带铰链的轴向压缩杆的固有圆频率和振动模式为：
在哪里：
可以看出，当圆频率
，即周期
当 时，可得到与“静力法”相同的稳定承载力计算公式：
屈曲约束支架
在轴心受压杆稳定问题临界承载力计算公式中，
它对应的是什么状态呢？是“多波”不稳定状态，如下图所示：
这种将“单波”失稳转化为“多波”失稳以提高临界承载力的方法就是屈曲约束支撑的工作原理，如下图所示：
结构工程师经常将屈曲约束支撑称为一种“阻尼器”，这是正确的吗？
不一定。如果内芯柱只是“多波”屈曲而不屈服，内芯柱的临界抗压承载力会提高n^2倍，但起不到耗能作用。这是屈曲约束支撑经常被误解和可能被滥用的一点钢结构稳定理论，请注意！
结尾
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