本文经授权转载自公众号胡正宇结构视点（id：AlexHU2020）
作者：胡正宇，英国皇家结构工程师学会（IStructE）院士，IStructE安大略分部主席，现拥有英国皇家注册结构工程师资格和加拿大ON/AB/BC省注册工程师资格。胡正宇先生现为美国土木工程师，英国结构工程师学会M.ASCE正式会员，兼任IStructE特许会员考试阅卷考官。胡先生拥有20余年国际工程设计经验，精通从超高层、大跨度到超长跨度等各类结构类型的设计和项目管理。现为加拿大国家钢结构设计规范（CSA-S16）技术委员会委员，中国现行结构抗震规范GB50191-2012主要起草人之一。
文章中我们谈到了古斯塔夫·埃菲尔和他设计建造的埃菲尔铁塔，很多朋友留言表示对此有浓厚的兴趣，希望我能详细介绍一下埃菲尔铁塔。本周我将简单说一下埃菲尔铁塔的结构，设计的精妙之处以后有机会介绍它的建造时再介绍。需要说明的是，下文文字中涉及到的所有项目相关信息和图片均收集整理自网络，且本文并非学术论文，而只是供读者茶余饭后消遣阅读的一般性科普入门文章。因此，虽然作者已仔细核对并核实了相关信息，但难免会有错漏之处，敬请谅解。
埃菲尔铁塔是由法国桥梁工程师、金属结构专家古斯塔夫·埃菲尔于1889年为纪念法国大革命100周年而设计建造的，是现代结构工程史上一座由懂得并欣赏外露结构之美的人设计的建筑，是真正的时代杰作，是一个工程奇迹，由一位天才的结构工程师以它作为建筑表现形式而设计建造而成，它的设计和建造展示出许多精妙的创新之处，埃菲尔铁塔的设计和建造震惊了世界。埃菲尔铁塔是一座高300m的人造塔，建于1889年，曾位居世界最高建筑榜首40年，直到1930年才被纽约的克莱斯勒大厦超越（当时的克莱斯勒大厦是世界上最高的建筑物）。
▼埃菲尔铁塔（图片来自网络，版权归原作者所有）
在设计铁塔结构时，艾菲尔借鉴自己在桥梁工程设计方面的经验，创造性地采用了组合拱和空间桁架结构体系作为铁塔的主体结构，以抵抗垂直力（重力）和横向力荷载（该体系代表了当时建筑结构工程领域最先进、最高效的结构体系），他的设计和研究成果引发了土木工程和建筑设计的一场革命。今天我们就从结构设计的角度，来一起思考一下艾菲尔铁塔结构设计的精妙之处。
几何与材料
埃菲尔铁塔全部采用熟铁制成，虽然当时钢铁已经发明，但埃菲尔铁塔仍然选择熟铁作为塔身的主要材料，因为钢铁在当时属于新技术，产量低，质量不稳定，加之钢材价格昂贵，无法满足工程的预算要求。一方面也是因为埃菲尔本人在熟铁设计方面经验丰富，信心满满，因此埃菲尔铁塔工程所用的7000多吨熟铁，是当时冶金工业技术水平上唯一能够为铁塔提供原材料的熟铁，材料强度、成型性、耐久性都得到了充分考虑，是当时经济预算范围内唯一能够负担得起的建造塔身结构的可行材料。
按照经典的高塔结构设计理念，塔的结构设计大致可以分为两种不同的类型：第一种是将结构设计为主要抵抗重力载荷的“重力柱”概念；第二种是将结构设计为主要抵抗重力载荷的“重力柱”概念；第三种是将结构设计为主要抵抗侧向风载荷的“悬臂柱”概念。这两种设计理念可以通过以下原则进行简单的区分。
1、当重力荷载与风荷载共同作用于主要承重构件产生的轴向力与垂直重力荷载单独作用产生的轴向力之比小于4/3时，高塔结构可按照“重力柱”的概念来设计；
2.当重力荷载与风荷载共同作用于主要承重构件产生的轴力与单独受垂直重力荷载产生的轴力之比大于4/3时，高塔结构宜按照“悬臂柱”概念来设计；
垂直重力荷载在主要承重构件中产生的轴力与风荷载在主要承重构件中产生的轴力之比，是决定结构设计考虑风荷载程度的重要因素。一般来说，在详细分析设计前的概念设计阶段，主体结构在满足重力荷载的同时，能承受侧向风荷载引起的33%过载应力比DCR（又称4/3系数规则）。也就是说，判断是按照“重力柱”还是“悬臂柱”概念进行设计的一个重要条件，就是看风荷载在主要承重构件中产生的轴力（或应力）是否达到重力荷载在主要承重构件中产生的轴力（或应力）的三分之一。 如果满足这个要求，结构可以简单地按照“重力柱”的概念进行设计，因为侧向风荷载引起的过应力效应会被材料的抗力安全系数“吸收”，这是经典的允许应力设计方法。
通过对埃菲尔铁塔结构进行分析发现，重力荷载和风荷载共同作用在主要承重构件中产生的轴向力与风荷载在主要承重构件中产生的轴向力之比为1.34，只比4/3高出0.01。这一比率完美地展现了埃菲尔铁塔抵抗风荷载的高效性。然而，在判断该塔是按照“重力柱”还是“悬臂柱”的概念进行设计时，可能会产生一些误导。如果将塔基收窄，上述比率将得到明显改善，因为塔腿的侧向风矩减小，侧向风荷载在腿中产生的轴向压力将大大增加。 （例如，若将其宽度改为现有宽度的一半，则风荷载在主要承重构件上产生的轴向力与重力荷载在主要承重构件上产生的轴向力之比将增加一倍，而重力荷载和风荷载共同作用在主要承重构件上产生的轴向力与风荷载在主要承重构件上产生的轴向力之比将达到1.7，远大于4/3。也就是说，如果将塔的基底宽度缩小一半，要么塔需要明显增加上部结构的整体重量来降低这个比例，要么需要设计更大更坚固的支腿来抵抗侧向风力，这两种方法无论哪一种都是低效和不经济的。）由此可见，埃菲尔铁塔的结构几何形状，特别是其底部支撑的支腿倾斜角度和间距等都是经过精心计算、设计和选择的，最终的结果是最经济和结构最高效的体型。
▼埃菲尔铁塔的支撑（图片来自网络，版权归原作者所有）
作为直观的比较，您可能会想到华盛顿纪念碑，它的高度是埃菲尔铁塔的一半（H = ~500ft），但重量却是埃菲尔铁塔的四倍！对于华盛顿纪念碑，上述比率为 1.08（即华盛顿纪念碑大大增加了结构的自重以满足“重力柱”概念的设计条件，结构效率很低），远小于 4/3。因此，从结构几何的抗风效率来看，华盛顿纪念碑的效率远低于埃菲尔铁塔。
▼华盛顿纪念碑（图片来自网络，版权归原作者所有）
尽管如此，人们在介绍埃菲尔铁塔的结构时，往往将其作为典型的悬臂结构来介绍，这是因为该塔的几何形状（特别是在其底部支撑处，四条向外张开的巨型对角腿的形状）向人们展示了一种完美且最高效的垂直悬臂结构。华盛顿纪念碑的底座虽然也比顶部宽，但其形状不如埃菲尔铁塔理想。人们应该意识到，两座塔的整体结构特征相似，但由于载荷和结构形式的差异，纪念碑更能说明“重力柱”的结构形式，而塔楼更能说明悬臂的结构形式。它们都是按照“重力柱”的概念设计的。
埃菲尔铁塔是一个相当复杂的结构，其结构细节设计种类繁多，尤其是在几何形状方面，但其主要的荷载路径却十分明确和直接。因此，为了通过简单的分析解读其结构设计的特点，需要对其几何形状和荷载进行一些合理的简化，以探究和计算其主要承重结构所承受的力、其构件的内力和应力，进而分析和评估其设计的安全性和效率性。下面的分析和总结主要基于约翰霍普金斯大学工程学院的研究成果，由于本文是一篇科普文章，作者尽量用文字和图片的形式对分析结果进行总结和介绍，尽量避免枯燥的数学公式。感兴趣的朋友可以登录约翰霍普金斯大学工程学院相关网站进行深入阅读。
埃菲尔铁塔的设计高度为 300 米，即 984 英尺（约 90 层）。其底座宽 328 英尺。如下图所示，这个尺寸迅速减小。该塔有四个观景台。为了简化分析，将塔分为三个部分：低区、中区和高区。这三个区域对应的塔宽是根据抛物线方程计算的，这是计算中对铁塔形状的理想简化。塔的实际垂直形状在其上升段比抛物线更陡峭。
塔的主体结构体系由塔身四角各一根巨大的格构柱组成，四根格构柱与柱肢通过锻铁构件两两连接，从而进一步整体形成坚固而轻质的组合格构柱。上图可见这些两两连接的组合格构柱的典型横截面，这些组合格构柱单元需要进行详细的分析计算，但整体简化分析，可将这些组合格构柱单元简化为横截面积为800平方英寸的单个实体截面柱进行简化分析，如下图所示：
并假设这四根简化的实体截面柱沿着塔实际格构柱的竖曲线上升，并在顶部附近相接。如下图所示：
但这种理想化仍然是三维的。为了简化分析，将两个前柱和两个后柱合并为两个两倍厚度的实体截面柱，将分析简化为二维。因此，简化为平面后的每个柱截面为1,600平方英寸，其形状仍然沿着塔实际格构柱的垂直曲线上升并在顶部附近交汇。
注：在此简化中，柱子垂直上升的曲线发生了变化。在三维结构中，曲线朝着结构方形底座的几何中心上升，但在二维简化中，曲线朝着连接两根柱子底部的平面的中点方向上升，因此在平面模型中柱子的向上曲率减小。
然而，考虑到塔楼形状的理想化，上述差异不会对主要结构分析结果产生重大影响。分析将假设弯曲单元遵循抛物线，但塔楼角柱的实际曲率比简化模型曲线更陡，如下图所示。之所以选择这种更弯曲的形状，是因为它在抵抗风荷载方面最有效（但并不像目前假设的那样非常均匀）。此外，简化平面模型的整体结构具有对称轴，因此每根柱子的中线也被理想化为抛物线。
经过上述简化后，通过分析塔轴线可求出整体内力，由整体内力可求出作用于柱轴线的内力，两柱之间的连接将被理想化为连续的，它们在第二个平台以上实际上是连续的，但在此点以下它们仅形成下部平台与地面之间的连接。
负载（LOADS）
在荷载方面，作用在埃菲尔铁塔上的荷载主要有三种：结构自重、平台上人员和机械的实时重量以及风荷载。
从许多来源得知铁塔钢结构，埃菲尔铁塔的总重量为 18,800 基普。该重量并非均匀分布在塔的高度上；底部的材料比顶部多。详细分析将根据塔的实际形状将重量分配给塔。负载分布到先前定义的三个部分。这些重量的估计值如下：
活荷载包括两个最重要的下部平台上的活荷载。总计约 3480 千磅。假设活荷载作用于距地面 257 英尺的塔结构重心，则活荷载和结构自重 D+L 总计约 22280 千磅。塔顶附近的风压比底部附近强，但由于塔为圆锥形，因此风力相当均匀。
假设风是沿塔垂直方向的均匀载荷，保守地采用较大的风力 p = 2.6 kip/ft。更详细的分析应考虑风随高度的变化以及塔面积随高度的减小。这些假设可能不会给出非常准确的结果（但总体上仍应是一个很好的估计），因此从上述风载荷中我们得到沿 984 ft 高度的总风载荷约为 2560 kip。假设风载荷沿其高度作用于塔的中部，如下图所示：
基本反作用力（反作用力）
根据以上风荷载和重力荷载（恒荷载和活荷载），可以容易地得到塔底部的总支撑反力，如下图所示。
此外，还可以轻松计算出每个柱底部的支撑反应和柱内的内力。
内力
柱内的内力可从上图使用反作用、荷载和平衡原理得出。最简单的内力是轴向力，它是由垂直荷载和反作用力引起的。它们在塔底部达到最大值。
垂直荷载作用下的柱轴力
因此，在重力荷载的作用下，两个柱子在其底部产生反作用力，如下图所示：同时，在底部支撑处，基础将抵抗3700kip的相反水平力。
随着垂直载荷和倾斜角的减小，轴向力将随高度减小。因此，到第二个平台时，整个顶部和中部都位于此点上方，因此垂直载荷为 3300kip：
第二个平台高度处的柱子倾斜度为116度，由此可见，在垂直力的作用下，两个柱子中的轴向力是相同的，分别为1685kip，与底部的轴向力相比，柱子中的轴向力仅为底部柱子中的轴向力的1/7左右！（由于较小的轴向力会产生较小的压应力，因此很自然地，在这个位置可以一定程度地减小柱子截面，而Eiffel实际上也确实是这样发生的。）另外，柱子倾斜角度产生的轴向力的水平分量，也完全被该位置的结构平台所承受。
水平荷载作用下的柱轴力
接下来，我们来研究结构在风荷载作用下整体弯矩产生的内力。水平风荷载产生的总弯矩会在一柱上产生拉力（T），在另一柱上产生压缩（C）。如下图所示。（有点夸张）：
由基本的力学分析可知，风荷载沿塔高度方向引起的弯矩图大致如下：
有趣的是，埃菲尔铁塔的立面形状曲线与上述弯矩图非常相似。简化的分析模型准确地揭示了这一重要的力学特征，只是如上所述，实际的塔曲率在高度方向上增加得更多。此外，在塔高度的任何一点，柱内的压力和压应力都可以通过该高度处结构的总弯矩 M 和结构的宽度 d 来确定。
在塔的底部，力矩为 M = 1,260,000 ft-k（反作用力），宽度 d 为 328 英尺。因此，两个柱子的轴向力为 +/-4050 kip（一个拉力和一个压缩力）
按照同样的思路，可得到第二个平台受风载荷产生的轴向力。
从上图可以看出，在侧向风荷载作用下，该位置的柱内轴向力与其垂直分量几乎相等。这意味着，如果只做粗略计算，当柱与垂直轴的夹角小于15度时，可以近似地认为柱内轴向力与垂直支撑反力相等。
另一个有趣的发现是，这个高度的垂直拉力和压缩反应几乎与底部基座的垂直拉力和压缩反应相同，两者都约为 4,000 kip。这表明，如果结构的垂直分布模仿其在横向力作用下的弯矩图形状，则柱中弯矩产生的垂直力分量将在整个高度上保持不变！
垂直和水平荷载作用下的柱内总轴向力
柱内总轴力可由上述分析得到的垂直重力荷载与水平风荷载产生的轴力相加得到。压力为负，拉力为正。如下图所示。
需要注意的是，在第二个平台处，迎风柱处于拉伸状态，而不是底部基座处的柱子始终处于压缩状态。但是，这并不会造成结构问题，因为熟铁既受拉又受压。接下来，用总轴向力来求内应力。由于塔垂直分量沿高度分布的几何形状与横向风荷载产生的弯矩图几乎一致，并且横向风荷载产生的柱子垂直轴力分量在塔的整个高度上基本恒定，因此从理论上讲，水平风荷载不会在柱子中产生剪力。
这一结果验证了以下概念：从抵抗风荷载的角度来看，塔沿垂直抛物线的形状只会在柱子中产生均匀分布的轴向力及其垂直分量。
柱截面应力（内部应力）
据此，根据上面得到的立柱内力（即塔柱底部压力在迎风面为N = -7,630 kips，迎风面为N = -15,780 kips），且两个简化立柱的面积均为塔的面积1600平方英寸，则两个立柱内的压应力分别为4.8 ksi和9.9 ksi。由于风可能从任何方向作用于塔，因此每个支架必须设计为能承受-9.9 ksi的最大压应力。这也是对实际塔的四个立柱内最大应力的粗略估计，因为简化模型已将四个三维立柱合并为二维平面模型中的两个立柱，横截面尺寸为原来的两倍。
塔的安全性和结构效率
埃菲尔铁塔的安全系数是极限应力与实际应力之比。锻铁的极限应力约为 45 ksi。这是它在失效或断裂前可以承受的最大拉伸或压缩力。与具有非常高应力水平的砖石不同，锻铁的极限应力约为 45 ksi。在相同的应力下会发生压缩和拉伸失效，而铁失效发生在两种力相同的应力下。安全系数公式中的实际应力值为 -9.9 ksi，极限应力为 45 ksi：因此，塔结构的安全系数约为 4.5。
也就是说，埃菲尔铁塔可以承受比其正常承受能力大四倍半的荷载而不倒塌。看起来，埃菲尔铁塔的设计过于保守，因为它绝对承受不了这么大的荷载。事实上，因为在按照允许应力的思想设计结构时，通常将结构材料的极限强度除以至少 2.0 的材料强度安全系数（即材料强度至少降低一半，只采用材料最大强度的一半）作为设计允许应力。这考虑到了材料强度测试的不确定性、材料本身的不确定性、材料破坏前变形对材料强度的影响以及其实际尺寸和形状与设计的差异。这些尺寸差异和变形虽然不是致命的危险缺陷，但它们并不美观，并且可能造成节点连接问题和局部残余应力。 因此在结构设计时人们不仅希望结构足够坚固（保证足够的强度）铁塔钢结构，而且要保证有足够的刚度，以避免这些对结构有害的变形。
在结构设计中通过为材料设定一个允许应力来考虑上述因素。允许应力值是设定极限承载能力的一个特定百分比，并以此作为结构设计的应力标准。也就是说，理想情况下，完美的结构设计应该使结构构件的应力比接近但不超过允许应力极限。较高的构件应力会很危险，并会引起过度变形，而较低的应力则不能充分利用材料的强度。在允许应力下进行设计本质上是将安全系数纳入结构设计中。如果结构受力达到允许极限，则意味着结构的实际安全系数等于材料的允许应力安全系数。
极限应力是材料的特性，而许用应力则是依据变形计算而设定的标准，即为避免产生有害变形而选用材料的最小安全系数。因此，也可将材料的极限应力除以材料抗力安全系数来计算许用应力。
艾菲尔在设计他的铁塔时，熟铁的安全系数约为3，即熟铁材料的允许应力为15ksi。这个值是艾菲尔设计铁塔时建筑规范中使用的标准。其方法是将结构主要部件中的设计应力（即实际应力）除以材料的允许应力，得到的值就是实际使用的允许应力的百分比。当然，理想的结构效率是1.0或100%（实际应力等于允许应力值）。艾菲尔铁塔的最大应力为9.9ksi，材料的允许应力为15ksi，因此效率为66%。这意味着在设计艾菲尔铁塔时利用了熟铁的66%的允许应力。 因此，埃菲尔铁塔是一种中等效率的结构设计。但是，考虑到当时结构稳定性设计、结构与构件二阶效应的理论与设计技术的不足，以及风荷载估算的不确定性，上述安全裕度的能量能够合理地覆盖当时这些未知因素，确保结构安全地建成并屹立至今。因此，总体而言，埃菲尔铁塔的结构设计还是相当合理和高效的。
本文的分析、解释和估算都是基于经典近似，并通过手工计算得出，因此结论是有效和准确的。但是，由于结果是基于简化的近似模型，因此本文的分析必须被视为对实际情况的现实简化，而不是与实际情况完全一致的准确分析。通过简单回顾本文分析中所使用的近似假设，您将对分析的简化有更清晰的理解：因为在分析中，塔的实际几何形状已使用具有实体截面柱和简化的静力和风荷载等的2D模型进行了理想化。虽然计算表明结构效率和安全系数对于此结构是合理的，但这些只是估计值。它不能被视为设计分析和评估的精确测量和依据。但至少从上述分析和讨论中我们可以一窥埃菲尔铁塔精妙的结构设计。
最后，我想用一组当时埃菲尔铁塔建造过程的照片来结束这篇文章。谢谢阅读。
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